čtvrtek 11. října 2012

Spotřební a úsporová funkce a jejich mps resp. mpc

Spotřební funkce představuje závislost mezi reálným důchodem Y (nezávisle proměnná) a spotřebou C (závisle proměnná).

Zjednodušený model spotřební funkce:

Přerušovaná čára představuje situaci, kdy domácnost spotřebuje všechen svůj důchod. V levé části grafu je patrné, že domácnosti s nízkými příjmy omezují své spotřební výdaje na uspokojení pro život nezbytných potřeb, jako je potrava, odívání, bydlení. Jsou i rodiny, které spotřebují více než vydělají - buď se zadluží nebo využíjí svých dřívějších úspor, což je typické zejména pro důchodce. Naopak domácnosti dosahující vyšších příjmů mohou nejen uspokojit méně naléhavé potřeby, jako jsou cestování, kultura či sport, ale dokonce část svého příjmu uspoří (viz pravá část obrázku).
Výdaje můžeme rozdělit do dvou skupin:
  • autonomní výdaje - nejsou závislé na výši reálného důchodu,
  • indukované výdaje - jsou přímo úměrné výši reálného důchodu, s jeho růstem se také zvyšují.
Tempo odpovídá meznímu sklonu ke spotřebě (mpc). Mezní sklon ke spotřebě vyjadřuje, jak se změní spotřební výdaje domácností při změně reálného důchodu.
mpc =  D C /  D Y


Při úrovni reálného důchodu YB se domácnosti dostanou do situace, kdy veškerý svůj disponibilní důchod spotřebují. při nižších hodnotách reálného důchodu, než je YB, musejí domácnosti čerpat na své spotřební výdaje úspory z předchozích období nebo se musejí zadlužit. Pak hovoříme o tzv. záporných úsporách. Při vyšších hodnotách reálného důchodu domácnosti část důchodu neutratí, ale uspoří a pak hovoříme o úsporách kladných.


Sklon funkce úspor (S) je dán velikostí tzv. mezního sklonu k úsporám. Mezní sklon k úsporám vyjadřuje, jak se změní úspory při změně reálného důchodu:
mps =  D S /  D Y.

Reálnější vyjádření spotřební a úsporové funkce:
Spotřební funkce: C = ln (Y+1) + 2


Úsporová funkce: S = Y - C
                            S = Y - [ln (Y+1) + 2]

středa 10. října 2012

Grafy funkcí a jejich sklony

Kvadratické funkce
f: y = x ^ 2
sklon f: y = x ^ 2

f: y = -x ^ 2-1
sklon f: y =-x ^ 2-1



f: y = x ^ 3
sklon f: y = x ^ 3


Logaritmická funkce
f: y = ln x
sklon f: y = ln x


Goniometrické funkce


f: y = sin x
sklon f: y = sin x
f: y = cos x
sklon f: y = cos x



pondělí 8. října 2012

Úkol: Sklon nabídky

Sklon nabídky


Řešení:


Abychom správně určili sklon obou nabídkových funkcí, je důležité, abychom se dívali na velikost úhlů ze strany nezávisle proměnné, což je v našem příkladě P. Musíme zjistit velikost úhlu, který nabídková funkce svírá s kladnou částí osy nezávisle proměnné. Na obrázku je názorně ukázáno α > β.


středa 3. října 2012

Lineární funkce a její sklon


Lineární funkce a její sklon
Lineární funkce je každá funkce, která je dána předpisem
y = kx+q,
kde a a b jsou reálná čísla. Zvláštní případ lineární funkce nastává, pokud se a = 0, neboť předchozí zápis můžeme zkrátit takto:
y = q,
což je konstantní funkce.

Koeficienty k a q určují svojí hodnotou vlastnosti dané přímky (sklon a posun):
  • k (směrnice přímky, sklon) - tg α (úhel, který svírá přímka s osou x)
  • q (posun přímky) – určuje průsečík přímky s osou y.
Příklady lineárních funkcí a jejích sklonů:
funkce
sklon funkce

f: y = 3x + 2
f: y = 4x
f: y = -x+2



Aproximace

APROXIMACE

Aproximace - proložení izolovaných dat spojitou diferencovatelnou funkcí, která nejlépe data očistí od zatížení náhodnými chybami měření.



Aproximace nemusí být provedena pouze lineární funkcí.

Interpolace - způsob, jak nalézt přibližnou hodnotu funkce v bodě intervalu, v němž několik hodnot této funkce známe, nahrazením funkce interpolačním polynomem. 
Extrapolace - odhad pravidelných složek časové řady pro časový bod mimo rámec bezprostředně zkoumaných časových bodů minulých či budoucích hodnot podle trendu, který vyjadřuje regresní funkce.




Využití aproximace v reálném příkladě

Mnoho matematických funkcí lze využít také při podnikání. Na příkladě pekaře a vývoji jeho tržeb aplikujeme aproximaci. V první řadě je nutné, aby si pekař vedl přesný záznam svých tržeb. S využitím aplikace MS Excel může sestavit graf vývoje tržeb a pomocí Spojnice trendu může sledovat předpokládaný vývoj.